Resolver {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=17$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+17$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+17}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x+5y=-22).

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

Egin -2 bider \frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta 5y.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

Gehitu \frac{34}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

Gehitu \frac{17}{5} eta -\frac{12}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

5x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

Sinplifikatu.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

Egin -10x+25y=-110 ken -10x+6y=-34 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

Gehitu -10x eta 10x. Sinplifikatu egiten dira -10x eta 10x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-25y=-34+110$$

Gehitu 6y eta -25y.

$$-19y=-34+110$$

Gehitu -34 eta 110.

$$-19y=76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -2x+5y=-22 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

Egin 5 bider -4.

$$-2x-20=-22$$

Gehitu 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-4$$