Resolver {r}{2x-3y=4}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x-3y=4$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Ordeztu \frac{3y}{2}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=8).

$$\frac{3}{2}y+2+y=8$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta y.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{12}{5}$$

Ordeztu \frac{12}{5} y balioarekin x=\frac{3}{2}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

Egin \frac{3}{2} bider \frac{12}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{18}{5}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{18}{5}.

$$x=\frac{28}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

2x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x-3y=4,2x+2y=2\times 8$$

Sinplifikatu.

$$2x-3y=4,2x+2y=16$$

Egin 2x+2y=16 ken 2x-3y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x-3y-2y=4-16$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-2y=4-16$$

Gehitu -3y eta -2y.

$$-5y=4-16$$

Gehitu 4 eta -16.

$$-5y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{12}{5}$$

Ordeztu \frac{12}{5} y balioarekin x+y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{12}{5}=8$$

Egin ken \frac{12}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{28}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$