Resolver {l}{y=x+2}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 2 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-x=2,y-2x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-x=2$$

Gehitu x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=x+2$$

Ordeztu x+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=1).

$$x+2-2x=1$$

Gehitu x eta -2x.

$$-x+2=1$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y=x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=1+2$$

Gehitu 2 eta 1.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-x=2,y-2x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\2-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=3,x=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$y-x=2$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-x=2,y-2x=1$$

Egin y-2x=1 ken y-x=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-x+2x=2-1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-x+2x=2-1$$

Gehitu -x eta 2x.

$$x=2-1$$

Gehitu 2 eta -1.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin y-2x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2=1$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=1$$