Resolver {l}{y=7x-1}{y=-x-9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7 x - 1 } \\ { y = - x - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=-1$$

$$y=-8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$y-7x=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-7x=-1$$

Gehitu 7x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=7x-1$$

Ordeztu 7x-1 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y+x=-9).

$$7x-1+x=-9$$

Gehitu 7x eta x.

$$8x-1=-9$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y=7x-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=7\left(-1\right)-1$$

Egin 7 bider -1.

$$y=-7-1$$

Gehitu -1 eta -7.

$$y=-8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-8,x=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$y-7x=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-7\right)}&-\frac{-7}{1-\left(-7\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-7\right)}&\frac{1}{1-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{7}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{7}{8}\left(-9\right)\\-\frac{1}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-8,x=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7x bi aldeetatik.

$$y-7x=-1$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=-9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-7x=-1,y+x=-9$$

Egin y+x=-9 ken y-7x=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y-7x-x=-1+9$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-7x-x=-1+9$$

Gehitu -7x eta -x.

$$-8x=-1+9$$

Gehitu -1 eta 9.

$$-8x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-1$$

Ordeztu -1 x balioarekin y+x=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-1=-9$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-8,x=-1$$