Resolver {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$y-6x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2y lortzeko, konbinatu y eta y.

$$x+2y=315.9$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-6x=0$$

Gehitu 6x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=6x$$

Ordeztu 6x balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+x=315.9).

$$2\times 6x+x=315.9$$

Egin 2 bider 6x.

$$12x+x=315.9$$

Gehitu 12x eta x.

$$13x=315.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$x=24.3$$

Ordeztu 24.3 x balioarekin y=6x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=6\times 24.3$$

Egin 6 bider 24.3.

$$y=145.8$$

Ebatzi da sistema.

$$y=145.8,x=24.3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$y-6x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2y lortzeko, konbinatu y eta y.

$$x+2y=315.9$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 6x bi aldeetatik.

$$y-6x=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 2y lortzeko, konbinatu y eta y.

$$x+2y=315.9$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

Sinplifikatu.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

Egin 2y+x=315.9 ken 2y-12x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12x-x=-315.9$$

Gehitu -12x eta -x.

$$-13x=-315.9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$x=\frac{243}{10}$$

Ordeztu \frac{243}{10} x balioarekin 2y+x=315.9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

Egin ken \frac{243}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{729}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$