Resolver {l}{y=2x-4}{x+2y-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 4 } \\ { x + 2 y - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+2y=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-2x=-4$$

Gehitu 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=2x-4$$

Ordeztu -4+2x balioa y balioarekin beste ekuazioan (2y+x=1).

$$2\left(2x-4\right)+x=1$$

Egin 2 bider -4+2x.

$$4x-8+x=1$$

Gehitu 4x eta x.

$$5x-8=1$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ordeztu \frac{9}{5} x balioarekin y=2x-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=2\times \frac{9}{5}-4$$

Egin 2 bider \frac{9}{5}.

$$y=\frac{18}{5}-4$$

Gehitu -4 eta \frac{18}{5}.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+2y=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-4\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}\left(-4\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 1 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$x+2y=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-2x=-4,2y+x=1$$

y eta 2y berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\left(-4\right),2y+x=1$$

Sinplifikatu.

$$2y-4x=-8,2y+x=1$$

Egin 2y+x=1 ken 2y-4x=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2y-2y-4x-x=-8-1$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-4x-x=-8-1$$

Gehitu -4x eta -x.

$$-5x=-8-1$$

Gehitu -8 eta -1.

$$-5x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ordeztu \frac{9}{5} x balioarekin 2y+x=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2y+\frac{9}{5}=1$$

Egin ken \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-\frac{4}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{2}{5},x=\frac{9}{5}$$