Resolver {l}{y=-x+5}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 5 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+x=5$$

Egin ken x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-x+5$$

Ordeztu -x+5 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-2x=-1).

$$-x+5-2x=-1$$

Gehitu -x eta -2x.

$$-3x+5=-1$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y=-x+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2+5$$

Gehitu 5 eta -2.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=3,x=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu x bi aldeetan.

$$y+x=5$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 2x bi aldeetatik.

$$y-2x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Egin y-2x=-1 ken y+x=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+x+2x=5+1$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+2x=5+1$$

Gehitu x eta 2x.

$$3x=5+1$$

Gehitu 5 eta 1.

$$3x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin y-2x=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-2\times 2=-1$$

Egin -2 bider 2.

$$y-4=-1$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$y=3,x=2$$