Resolver {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=7$$

$$y=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=13$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y+2x=13$$

Egin ken 2x ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2x+13$$

Ordeztu -2x+13 balioa y balioarekin beste ekuazioan (8y+4x=20).

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

Egin 8 bider -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

Gehitu -16x eta 4x.

$$-12x+104=20$$

Egin ken 104 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-12x=-84$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$x=7$$

Ordeztu 7 x balioarekin y=-2x+13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-2\times 7+13$$

Egin -2 bider 7.

$$y=-14+13$$

Gehitu 13 eta -14.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=13$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-1,x=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2x bi aldeetan.

$$y+2x=13$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

y eta 8y berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

Sinplifikatu.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

Egin 8y+4x=20 ken 8y+16x=104 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

Gehitu 8y eta -8y. Sinplifikatu egiten dira 8y eta -8y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$16x-4x=104-20$$

Gehitu 16x eta -4x.

$$12x=104-20$$

Gehitu 104 eta -20.

$$12x=84$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=7$$

Ordeztu 7 x balioarekin 8y+4x=20 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$8y+4\times 7=20$$

Egin 4 bider 7.

$$8y+28=20$$

Egin ken 28 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8y=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-1,x=7$$