Resolver {l}{y=1/2x+4}{x-y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=24$$

$$y=16$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Gehitu \frac{x}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=\frac{1}{2}x+4$$

Ordeztu \frac{x}{2}+4 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-y+x=8).

$$-\left(\frac{1}{2}x+4\right)+x=8$$

Egin -1 bider \frac{x}{2}+4.

$$-\frac{1}{2}x-4+x=8$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta x.

$$\frac{1}{2}x-4=8$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}x=12$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=24$$

Ordeztu 24 x balioarekin y=\frac{1}{2}x+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{1}{2}\times 24+4$$

Egin \frac{1}{2} bider 24.

$$y=12+4$$

Gehitu 4 eta 12.

$$y=16$$

Ebatzi da sistema.

$$y=16,x=24$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4+8\\2\times 4+2\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=16,x=24$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{2}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

y eta -y berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-y-\left(-\frac{1}{2}x\right)=-4,-y+x=8$$

Sinplifikatu.

$$-y+\frac{1}{2}x=-4,-y+x=8$$

Egin -y+x=8 ken -y+\frac{1}{2}x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-y+y+\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -x.

$$-\frac{1}{2}x=-4-8$$

Gehitu -4 eta -8.

$$-\frac{1}{2}x=-12$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=24$$

Ordeztu 24 x balioarekin -y+x=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-y+24=8$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=16$$

Ebatzi da sistema.

$$y=16,x=24$$