Resolver {l}{y=-1/2x+6}{y=1/4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { - 1 } { 2 } x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3} \approx 14.666666667$$

$$y = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. \frac{-1}{2} zatikia -\frac{1}{2} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Ordeztu -\frac{x}{2}+6 balioa y balioarekin beste ekuazioan (y-\frac{1}{4}x=-5).

$$-\frac{1}{2}x+6-\frac{1}{4}x=-5$$

Gehitu -\frac{x}{2} eta -\frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x+6=-5$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{4}x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{44}{3}$$

Ordeztu \frac{44}{3} x balioarekin y=-\frac{1}{2}x+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{1}{2}\times \frac{44}{3}+6$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{44}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{22}{3}+6$$

Gehitu 6 eta -\frac{22}{3}.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. \frac{-1}{2} zatikia -\frac{1}{2} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{4}{3}\times 6-\frac{4}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{44}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. \frac{-1}{2} zatikia -\frac{1}{2} gisa ere idatz daiteke, ikur negatiboa kenduta.

$$y=-\frac{1}{2}x+6$$

Gehitu \frac{1}{2}x bi aldeetan.

$$y+\frac{1}{2}x=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{4}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{4}x=-5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$y+\frac{1}{2}x=6,y-\frac{1}{4}x=-5$$

Egin y-\frac{1}{4}x=-5 ken y+\frac{1}{2}x=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$y-y+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=6+5$$

Gehitu \frac{x}{2} eta \frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x=6+5$$

Gehitu 6 eta 5.

$$\frac{3}{4}x=11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=\frac{44}{3}$$

Ordeztu \frac{44}{3} x balioarekin y-\frac{1}{4}x=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y-\frac{1}{4}\times \frac{44}{3}=-5$$

Egin -\frac{1}{4} bider \frac{44}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y-\frac{11}{3}=-5$$

Gehitu \frac{11}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-\frac{4}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=-\frac{4}{3},x=\frac{44}{3}$$