Resolver {l}{x^2+y^2=2}{x-y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404\text{, }y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1.366025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1.366025404\text{, }y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0.366025404$$

Ordezkapenaren eta formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=1,y^{2}+x^{2}=2$$

Ebatzi x-y=1 ekuazioko x. Horretarako, isolatu x berdin zeinuaren ezkerreko aldean.

$$x-y=1$$

Egin ken -y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y+1$$

Ordeztu y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (y^{2}+x^{2}=2).

$$y^{2}+\left(y+1\right)^{2}=2$$

Egin y+1 ber bi.

$$y^{2}+y^{2}+2y+1=2$$

Gehitu y^{2} eta y^{2}.

$$2y^{2}+2y+1=2$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 1+1\times 1^{2} balioa a balioarekin, 1\times 1\times 1\times 2 balioa b balioarekin, eta -1 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin 1\times 1\times 1\times 2 ber bi.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Gehitu 4 eta 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Atera 12 balioaren erro karratua.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 1+1\times 1^{2}.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -2 eta 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Zatitu -2+2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Orain, ebatzi y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 2\sqrt{3} ken -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Zatitu -2-2\sqrt{3} balioa 4 balioarekin.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Bi ebazpide ditu y balioak: \frac{-1+\sqrt{3}}{2} eta \frac{-1-\sqrt{3}}{2}. Ordeztu \frac{-1+\sqrt{3}}{2} balioa y balioarekin x=y+1 ekuazioan, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1$$

Orain, ordeztu \frac{-1-\sqrt{3}}{2} balioa x=y+1 ekuazioko y balioarekin eta ebatz ezazu, bi ekuazioekin bat datorren x balioaren ebazpena aurkitzeko.

$$x=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}+1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}+1,y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$