Resolver {l}{x+y=8}{3x-2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4.2$$

$$y = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5} = 3.8$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=8,3x-2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+8$$

Ordeztu -y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=5).

$$3\left(-y+8\right)-2y=5$$

Egin 3 bider -y+8.

$$-3y+24-2y=5$$

Gehitu -3y eta -2y.

$$-5y+24=5$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{19}{5}$$

Ordeztu \frac{19}{5} y balioarekin x=-y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{19}{5}+8$$

Gehitu 8 eta -\frac{19}{5}.

$$x=\frac{21}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=8,3x-2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{5}\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=8,3x-2y=5$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3y=3\times 8,3x-2y=5$$

Sinplifikatu.

$$3x+3y=24,3x-2y=5$$

Egin 3x-2y=5 ken 3x+3y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+3y+2y=24-5$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y+2y=24-5$$

Gehitu 3y eta 2y.

$$5y=24-5$$

Gehitu 24 eta -5.

$$5y=19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{19}{5}$$

Ordeztu \frac{19}{5} y balioarekin 3x-2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times \frac{19}{5}=5$$

Egin -2 bider \frac{19}{5}.

$$3x-\frac{38}{5}=5$$

Gehitu \frac{38}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{63}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{21}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{21}{5},y=\frac{19}{5}$$