Resolver {l}{x+y=8}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 8 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=8$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+8$$

Ordeztu -y+8 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y=1).

$$-\left(-y+8\right)+2y=1$$

Egin -1 bider -y+8.

$$y-8+2y=1$$

Gehitu y eta 2y.

$$3y-8=1$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-y+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3+8$$

Gehitu 8 eta -3.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 8-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y-x=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=8,-x+2y=1$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-y=-8,-x+2y=1$$

Egin -x+2y=1 ken -x-y=-8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x-y-2y=-8-1$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-2y=-8-1$$

Gehitu -y eta -2y.

$$-3y=-8-1$$

Gehitu -8 eta -1.

$$-3y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin -x+2y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\times 3=1$$

Egin 2 bider 3.

$$-x+6=1$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=3$$