Resolver {l}{x+y=2}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=2$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+2$$

Ordeztu -y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-3y=1).

$$2\left(-y+2\right)-3y=1$$

Egin 2 bider -y+2.

$$-2y+4-3y=1$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y+4=1$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{3}{5} y balioarekin x=-y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{3}{5}.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2y=2\times 2,2x-3y=1$$

Sinplifikatu.

$$2x+2y=4,2x-3y=1$$

Egin 2x-3y=1 ken 2x+2y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+2y+3y=4-1$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+3y=4-1$$

Gehitu 2y eta 3y.

$$5y=4-1$$

Gehitu 4 eta -1.

$$5y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{3}{5} y balioarekin 2x-3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-3\times \frac{3}{5}=1$$

Egin -3 bider \frac{3}{5}.

$$2x-\frac{9}{5}=1$$

Gehitu \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{14}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$