Resolver {l}{x+y=12}{5x+10y=165}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 12 } \\ { 5 x + 10 y = 165 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-9$$

$$y=21$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=12$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+12$$

Ordeztu -y+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+10y=165).

$$5\left(-y+12\right)+10y=165$$

Egin 5 bider -y+12.

$$-5y+60+10y=165$$

Gehitu -5y eta 10y.

$$5y+60=165$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin x=-y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-21+12$$

Gehitu 12 eta -21.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=21$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-5}&-\frac{1}{10-5}\\-\frac{5}{10-5}&\frac{1}{10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{5}\\-1&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12-\frac{1}{5}\times 165\\-12+\frac{1}{5}\times 165\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\21\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-9,y=21$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5x+5y=5\times 12,5x+10y=165$$

Sinplifikatu.

$$5x+5y=60,5x+10y=165$$

Egin 5x+10y=165 ken 5x+5y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x+5y-10y=60-165$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y-10y=60-165$$

Gehitu 5y eta -10y.

$$-5y=60-165$$

Gehitu 60 eta -165.

$$-5y=-105$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=21$$

Ordeztu 21 y balioarekin 5x+10y=165 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+10\times 21=165$$

Egin 10 bider 21.

$$5x+210=165$$

Egin ken 210 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-9,y=21$$