Resolver {l}{x+y=0.7}{28x+44y=24.4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 0.7 } \\ { 28 x + 44 y = 24.4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0.4$$

$$y=0.3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=0.7,28x+44y=24.4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=0.7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+0.7$$

Ordeztu -y+0.7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (28x+44y=24.4).

$$28\left(-y+0.7\right)+44y=24.4$$

Egin 28 bider -y+0.7.

$$-28y+19.6+44y=24.4$$

Gehitu -28y eta 44y.

$$16y+19.6=24.4$$

Egin ken 19.6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$16y=4.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=0.3$$

Ordeztu 0.3 y balioarekin x=-y+0.7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-0.3+0.7$$

Egin -1 bider 0.3.

$$x=\frac{-3+7}{10}$$

Gehitu 0.7 eta -0.3 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=0.4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0.4,y=0.3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=0.7,28x+44y=24.4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\28&44\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{44-28}&-\frac{1}{44-28}\\-\frac{28}{44-28}&\frac{1}{44-28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{7}{4}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\24.4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{4}\times 0.7-\frac{1}{16}\times 24.4\\-\frac{7}{4}\times 0.7+\frac{1}{16}\times 24.4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=0.7,28x+44y=24.4$$

x eta 28x berdintzeko, biderkatu 28 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$28x+28y=28\times 0.7,28x+44y=24.4$$

Sinplifikatu.

$$28x+28y=19.6,28x+44y=24.4$$

Egin 28x+44y=24.4 ken 28x+28y=19.6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x+28y-44y=\frac{98-122}{5}$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$28y-44y=\frac{98-122}{5}$$

Gehitu 28y eta -44y.

$$-16y=\frac{98-122}{5}$$

Gehitu 19.6 eta -24.4 izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$-16y=-4.8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -16 balioarekin.

$$y=\frac{3}{10}$$

Ordeztu \frac{3}{10} y balioarekin 28x+44y=24.4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$28x+44\times \frac{3}{10}=24.4$$

Egin 44 bider \frac{3}{10}.

$$28x+\frac{66}{5}=24.4$$

Egin ken \frac{66}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$28x=\frac{56}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 28 balioarekin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10}$$