Resolver {l}{x+7=y}{4y+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 7 = y } \\ { 4 y + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+7-y=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-7$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=-7$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y-7$$

Ordeztu y-7 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=0).

$$3\left(y-7\right)+4y=0$$

Egin 3 bider y-7.

$$3y-21+4y=0$$

Gehitu 3y eta 4y.

$$7y-21=0$$

Gehitu 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=y-7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3-7$$

Gehitu -7 eta 3.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+7-y=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-7$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-7\right)\\-\frac{3}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+7-y=0$$

Kendu 7 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-7$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=-7,3x+4y=0$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-7\right),3x+4y=0$$

Sinplifikatu.

$$3x-3y=-21,3x+4y=0$$

Egin 3x+4y=0 ken 3x-3y=-21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-3y-4y=-21$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-4y=-21$$

Gehitu -3y eta -4y.

$$-7y=-21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 3x+4y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\times 3=0$$

Egin 4 bider 3.

$$3x+12=0$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=3$$