Resolver {l}{x+3=y}{2y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = y } \\ { 2 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-7$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y+1-x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2y-x=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=-3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y-3$$

Ordeztu y-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+2y=-1).

$$-\left(y-3\right)+2y=-1$$

Egin -1 bider y-3.

$$-y+3+2y=-1$$

Gehitu -y eta 2y.

$$y+3=-1$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4-3$$

Gehitu -3 eta -4.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y+1-x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2y-x=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-3\right)-1\\-3-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-7,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$2y+1-x=0$$

Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2y-x=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=-3,-x+2y=-1$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-\left(-y\right)=-\left(-3\right),-x+2y=-1$$

Sinplifikatu.

$$-x+y=3,-x+2y=-1$$

Egin -x+2y=-1 ken -x+y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+y-2y=3+1$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-2y=3+1$$

Gehitu y eta -2y.

$$-y=3+1$$

Gehitu 3 eta 1.

$$-y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -x+2y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+2\left(-4\right)=-1$$

Egin 2 bider -4.

$$-x-8=-1$$

Gehitu 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=-7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-7,y=-4$$