Resolver {l}{x+2y=1}{3x-9y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { 3 x - 9 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=1,3x-9y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=1$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+1$$

Ordeztu -2y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-9y=0).

$$3\left(-2y+1\right)-9y=0$$

Egin 3 bider -2y+1.

$$-6y+3-9y=0$$

Gehitu -6y eta -9y.

$$-15y+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin x=-2y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{1}{5}+1$$

Egin -2 bider \frac{1}{5}.

$$x=-\frac{2}{5}+1$$

Gehitu 1 eta -\frac{2}{5}.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=1,3x-9y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-2\times 3}&-\frac{2}{-9-2\times 3}\\-\frac{3}{-9-2\times 3}&\frac{1}{-9-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=1,3x-9y=0$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 2y=3,3x-9y=0$$

Sinplifikatu.

$$3x+6y=3,3x-9y=0$$

Egin 3x-9y=0 ken 3x+6y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+6y+9y=3$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+9y=3$$

Gehitu 6y eta 9y.

$$15y=3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin 3x-9y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-9\times \frac{1}{5}=0$$

Egin -9 bider \frac{1}{5}.

$$3x-\frac{9}{5}=0$$

Gehitu \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{9}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{1}{5}$$