Resolver {l}{m+3=8n}{m+4n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 3 = 8 n } \\ { m + 4 n = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{3}{4}=0.75$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8n bi aldeetatik.

$$m+3-8n=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$m-8n=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$m-8n=-3$$

Gehitu 8n ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=8n-3$$

Ordeztu 8n-3 balioa m balioarekin beste ekuazioan (m+4n=6).

$$8n-3+4n=6$$

Gehitu 8n eta 4n.

$$12n-3=6$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12n=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$n=\frac{3}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4} n balioarekin m=8n-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=8\times \frac{3}{4}-3$$

Egin 8 bider \frac{3}{4}.

$$m=6-3$$

Gehitu -3 eta 6.

$$m=3$$

Ebatzi da sistema.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8n bi aldeetatik.

$$m+3-8n=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$m-8n=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{4-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-8\right)}&\frac{1}{4-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\times 6\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{12}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 8n bi aldeetatik.

$$m+3-8n=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$m-8n=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$m-8n=-3,m+4n=6$$

Egin m+4n=6 ken m-8n=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$m-m-8n-4n=-3-6$$

Gehitu m eta -m. Sinplifikatu egiten dira m eta -m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8n-4n=-3-6$$

Gehitu -8n eta -4n.

$$-12n=-3-6$$

Gehitu -3 eta -6.

$$-12n=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$n=\frac{3}{4}$$

Ordeztu \frac{3}{4} n balioarekin m+4n=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m+4\times \frac{3}{4}=6$$

Egin 4 bider \frac{3}{4}.

$$m+3=6$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$m=3$$

Ebatzi da sistema.

$$m=3,n=\frac{3}{4}$$