Resolver {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2b bi aldeetan.

$$a+2b=15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2a bi aldeetan.

$$2a-5b+2a=15$$

4a lortzeko, konbinatu 2a eta 2a.

$$4a-5b=15$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+2b=15$$

Egin ken 2b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-2b+15$$

Ordeztu -2b+15 balioa a balioarekin beste ekuazioan (4a-5b=15).

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Egin 4 bider -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Gehitu -8b eta -5b.

$$-13b+60=15$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-13b=-45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$b=\frac{45}{13}$$

Ordeztu \frac{45}{13} b balioarekin a=-2b+15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Egin -2 bider \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Gehitu 15 eta -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2b bi aldeetan.

$$a+2b=15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2a bi aldeetan.

$$2a-5b+2a=15$$

4a lortzeko, konbinatu 2a eta 2a.

$$4a-5b=15$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2b bi aldeetan.

$$a+2b=15$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2a bi aldeetan.

$$2a-5b+2a=15$$

4a lortzeko, konbinatu 2a eta 2a.

$$4a-5b=15$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a eta 4a berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Sinplifikatu.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Egin 4a-5b=15 ken 4a+8b=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Gehitu 4a eta -4a. Sinplifikatu egiten dira 4a eta -4a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8b+5b=60-15$$

Gehitu 8b eta 5b.

$$13b=60-15$$

Gehitu 60 eta -15.

$$13b=45$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$b=\frac{45}{13}$$

Ordeztu \frac{45}{13} b balioarekin 4a-5b=15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Egin -5 bider \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Gehitu \frac{225}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$a=\frac{105}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$