Resolver {l}{a+b=4}{2a-b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+b=4$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-b+4$$

Ordeztu -b+4 balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a-b=1).

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

Egin 2 bider -b+4.

$$-2b+8-b=1$$

Gehitu -2b eta -b.

$$-3b+8=1$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3b=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$b=\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{7}{3} b balioarekin a=-b+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

Gehitu 4 eta -\frac{7}{3}.

$$a=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+b=4,2a-b=1$$

a eta 2a berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

Sinplifikatu.

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

Egin 2a-b=1 ken 2a+2b=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

Gehitu 2a eta -2a. Sinplifikatu egiten dira 2a eta -2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2b+b=8-1$$

Gehitu 2b eta b.

$$3b=8-1$$

Gehitu 8 eta -1.

$$3b=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$b=\frac{7}{3}$$

Ordeztu \frac{7}{3} b balioarekin 2a-b=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

Gehitu \frac{7}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=\frac{10}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{5}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$