Resolver {l}{950x-120y=13}{490y-120x=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 950 x - 120 y = 13 } \\ { 490 y - 120 x = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{125}{9022}\approx 0.013855021$$

$$y=\frac{61}{45110}\approx 0.00135225$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$950x-120y=13$$

Gehitu 120y ekuazioaren bi aldeetan.

$$950x=120y+13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 950 balioarekin.

$$x=\frac{1}{950}\left(120y+13\right)$$

Egin \frac{1}{950} bider 120y+13.

$$x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}$$

Ordeztu \frac{12y}{95}+\frac{13}{950} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-120x+490y=-1).

$$-120\left(\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}\right)+490y=-1$$

Egin -120 bider \frac{12y}{95}+\frac{13}{950}.

$$-\frac{288}{19}y-\frac{156}{95}+490y=-1$$

Gehitu -\frac{288y}{19} eta 490y.

$$\frac{9022}{19}y-\frac{156}{95}=-1$$

Gehitu \frac{156}{95} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9022}{19}y=\frac{61}{95}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9022}{19} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{61}{45110}$$

Ordeztu \frac{61}{45110} y balioarekin x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{12}{95}\times \frac{61}{45110}+\frac{13}{950}$$

Egin \frac{12}{95} bider \frac{61}{45110}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{366}{2142725}+\frac{13}{950}$$

Gehitu \frac{13}{950} eta \frac{366}{2142725} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{125}{9022}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{490}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\\-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&\frac{950}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}&\frac{6}{22555}\\\frac{6}{22555}&\frac{19}{9022}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}\times 13+\frac{6}{22555}\left(-1\right)\\\frac{6}{22555}\times 13+\frac{19}{9022}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{9022}\\\frac{61}{45110}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

950x eta -120x berdintzeko, biderkatu -120 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 950 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-120\times 950x-120\left(-120\right)y=-120\times 13,950\left(-120\right)x+950\times 490y=950\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$-114000x+14400y=-1560,-114000x+465500y=-950$$

Egin -114000x+465500y=-950 ken -114000x+14400y=-1560 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-114000x+114000x+14400y-465500y=-1560+950$$

Gehitu -114000x eta 114000x. Sinplifikatu egiten dira -114000x eta 114000x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$14400y-465500y=-1560+950$$

Gehitu 14400y eta -465500y.

$$-451100y=-1560+950$$

Gehitu -1560 eta 950.

$$-451100y=-610$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -451100 balioarekin.

$$y=\frac{61}{45110}$$

Ordeztu \frac{61}{45110} y balioarekin -120x+490y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-120x+490\times \frac{61}{45110}=-1$$

Egin 490 bider \frac{61}{45110}.

$$-120x+\frac{2989}{4511}=-1$$

Egin ken \frac{2989}{4511} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-120x=-\frac{7500}{4511}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -120 balioarekin.

$$x=\frac{125}{9022}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$