Resolver {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+my+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x+my=-3$$

Egin ken my ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (mx+4y+2=0).

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Egin m bider -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Gehitu -\frac{m^{2}y}{9} eta 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Egin ken -\frac{m}{3}+2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{m^{2}}{9}+4 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Ordeztu -\frac{3}{6+m} y balioarekin x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{m}{9} bider -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x eta mx berdintzeko, biderkatu m balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Sinplifikatu.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Egin 9mx+36y+18=0 ken 9mx+m^{2}y+3m=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Gehitu 9mx eta -9mx. Sinplifikatu egiten dira 9mx eta -9mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Gehitu m^{2}y eta -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Egin ken -18+3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m^{2}-36 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Ordeztu -\frac{3}{6+m} y balioarekin mx+4y+2=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Egin 4 bider -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Gehitu -\frac{12}{6+m} eta 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Egin ken \frac{2m}{6+m} ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+my+3=0$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x+my=-3$$

Egin ken my ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Ordeztu -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (mx+4y+2=0).

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Egin m bider -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Gehitu -\frac{m^{2}y}{9} eta 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Egin ken -\frac{m}{3}+2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{m^{2}}{9}+4 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Ordeztu -\frac{3}{6+m} y balioarekin x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Egin -\frac{m}{9} bider -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Gehitu -\frac{1}{3} eta \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x eta mx berdintzeko, biderkatu m balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Sinplifikatu.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Egin 9mx+36y+18=0 ken 9mx+m^{2}y+3m=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Gehitu 9mx eta -9mx. Sinplifikatu egiten dira 9mx eta -9mx. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Gehitu m^{2}y eta -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Egin ken -18+3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m^{2}-36 balioarekin.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Ordeztu -\frac{3}{6+m} y balioarekin mx+4y+2=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Egin 4 bider -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Gehitu -\frac{12}{6+m} eta 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Egin ken \frac{2m}{6+m} ekuazioaren bi aldeetan.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak m balioarekin.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$