Resolver {l}{9x+8y=5280x?}{8x+12y=5280*9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 8 y = 5280 x ? } \\ { 8 x + 12 y = 5280 \times 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{8640}{1439} = 6\frac{6}{1439} \approx 6.004169562$$

$$y = \frac{5692680}{1439} = 3955\frac{1435}{1439} \approx 3955.997220292$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5280x bi aldeetatik.

$$9x+8y-5280x=0$$

-5271x lortzeko, konbinatu 9x eta -5280x.

$$-5271x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 47520 lortzeko, biderkatu 5280 eta 9.

$$8x+12y=47520$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-5271x+8y=0$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5271x=-8y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5271 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{5271}\left(-8\right)y$$

Egin -\frac{1}{5271} bider -8y.

$$x=\frac{8}{5271}y$$

Ordeztu \frac{8y}{5271} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+12y=47520).

$$8\times \frac{8}{5271}y+12y=47520$$

Egin 8 bider \frac{8y}{5271}.

$$\frac{64}{5271}y+12y=47520$$

Gehitu \frac{64y}{5271} eta 12y.

$$\frac{63316}{5271}y=47520$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{63316}{5271} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

Ordeztu \frac{5692680}{1439} y balioarekin x=\frac{8}{5271}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8}{5271}\times \frac{5692680}{1439}$$

Egin \frac{8}{5271} bider \frac{5692680}{1439}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5280x bi aldeetatik.

$$9x+8y-5280x=0$$

-5271x lortzeko, konbinatu 9x eta -5280x.

$$-5271x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 47520 lortzeko, biderkatu 5280 eta 9.

$$8x+12y=47520$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5271&8\\8&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}\\-\frac{8}{-5271\times 12-8\times 8}&-\frac{5271}{-5271\times 12-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{15829}&\frac{2}{15829}\\\frac{2}{15829}&\frac{5271}{63316}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\47520\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15829}\times 47520\\\frac{5271}{63316}\times 47520\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8640}{1439}\\\frac{5692680}{1439}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 5280x bi aldeetatik.

$$9x+8y-5280x=0$$

-5271x lortzeko, konbinatu 9x eta -5280x.

$$-5271x+8y=0$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. 47520 lortzeko, biderkatu 5280 eta 9.

$$8x+12y=47520$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-5271x+8y=0,8x+12y=47520$$

-5271x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -5271 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\left(-5271\right)x+8\times 8y=0,-5271\times 8x-5271\times 12y=-5271\times 47520$$

Sinplifikatu.

$$-42168x+64y=0,-42168x-63252y=-250477920$$

Egin -42168x-63252y=-250477920 ken -42168x+64y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-42168x+42168x+64y+63252y=250477920$$

Gehitu -42168x eta 42168x. Sinplifikatu egiten dira -42168x eta 42168x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$64y+63252y=250477920$$

Gehitu 64y eta 63252y.

$$63316y=250477920$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 63316 balioarekin.

$$y=\frac{5692680}{1439}$$

Ordeztu \frac{5692680}{1439} y balioarekin 8x+12y=47520 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+12\times \frac{5692680}{1439}=47520$$

Egin 12 bider \frac{5692680}{1439}.

$$8x+\frac{68312160}{1439}=47520$$

Egin ken \frac{68312160}{1439} ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=\frac{69120}{1439}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{8640}{1439}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{8640}{1439},y=\frac{5692680}{1439}$$