Resolver {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+7y=1$$

Egin ken 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-7y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -7y+1.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

Ordeztu \frac{-7y+1}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+6y=1).

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

Egin 5 bider \frac{-7y+1}{8}.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

Gehitu -\frac{35y}{8} eta 6y.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

Egin ken \frac{5}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{13}{8} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{3}{13}$$

Ordeztu \frac{3}{13} y balioarekin x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

Egin -\frac{7}{8} bider \frac{3}{13}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

Gehitu \frac{1}{8} eta -\frac{21}{104} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{1}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

8x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

Sinplifikatu.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

Egin 40x+48y=8 ken 40x+35y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

Gehitu 40x eta -40x. Sinplifikatu egiten dira 40x eta -40x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$35y-48y=5-8$$

Gehitu 35y eta -48y.

$$-13y=5-8$$

Gehitu 5 eta -8.

$$-13y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -13 balioarekin.

$$y=\frac{3}{13}$$

Ordeztu \frac{3}{13} y balioarekin 5x+6y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

Egin 6 bider \frac{3}{13}.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

Egin ken \frac{18}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$