Resolver {l}{7x-6y=19}{x-2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = 19 } \\ { x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x-6y=19$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=6y+19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y+19\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider 6y+19.

$$x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}$$

Ordeztu \frac{6y+19}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-2y=5).

$$\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}-2y=5$$

Gehitu \frac{6y}{7} eta -2y.

$$-\frac{8}{7}y+\frac{19}{7}=5$$

Egin ken \frac{19}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{8}{7}y=\frac{16}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6}{7}\left(-2\right)+\frac{19}{7}$$

Egin \frac{6}{7} bider -2.

$$x=\frac{-12+19}{7}$$

Gehitu \frac{19}{7} eta -\frac{12}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\times 5\\\frac{1}{8}\times 19-\frac{7}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

7x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$7x-6y=19,7x+7\left(-2\right)y=7\times 5$$

Sinplifikatu.

$$7x-6y=19,7x-14y=35$$

Egin 7x-14y=35 ken 7x-6y=19 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-7x-6y+14y=19-35$$

Gehitu 7x eta -7x. Sinplifikatu egiten dira 7x eta -7x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+14y=19-35$$

Gehitu -6y eta 14y.

$$8y=19-35$$

Gehitu 19 eta -35.

$$8y=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x-2y=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-2\left(-2\right)=5$$

Egin -2 bider -2.

$$x+4=5$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$