Resolver {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+5y=-3$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-5y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -5y-3.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

Ordeztu \frac{-5y-3}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x+y=-11).

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

Egin -9 bider \frac{-5y-3}{7}.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

Gehitu \frac{45y}{7} eta y.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

Egin ken \frac{27}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{52}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

Egin -\frac{5}{7} bider -2.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

Gehitu -\frac{3}{7} eta \frac{10}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

7x eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

Egin -63x+7y=-77 ken -63x-45y=27 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

Gehitu -63x eta 63x. Sinplifikatu egiten dira -63x eta 63x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-45y-7y=27+77$$

Gehitu -45y eta -7y.

$$-52y=27+77$$

Gehitu 27 eta 77.

$$-52y=104$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -52 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin -9x+y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x-2=-11$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-2$$