Resolver {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x-5y=-36$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=5y-36$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 5y-36.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

Ordeztu \frac{5y}{6}-6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-7x+2y=39).

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

Egin -7 bider \frac{5y}{6}-6.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

Gehitu -\frac{35y}{6} eta 2y.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

Egin ken 42 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{23}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{18}{23}$$

Ordeztu \frac{18}{23} y balioarekin x=\frac{5}{6}y-6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

Egin \frac{5}{6} bider \frac{18}{23}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

Gehitu -6 eta \frac{15}{23}.

$$x=-\frac{123}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

6x eta -7x berdintzeko, biderkatu -7 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

Sinplifikatu.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

Egin -42x+12y=234 ken -42x+35y=252 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

Gehitu -42x eta 42x. Sinplifikatu egiten dira -42x eta 42x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$35y-12y=252-234$$

Gehitu 35y eta -12y.

$$23y=252-234$$

Gehitu 252 eta -234.

$$23y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 23 balioarekin.

$$y=\frac{18}{23}$$

Ordeztu \frac{18}{23} y balioarekin -7x+2y=39 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

Egin 2 bider \frac{18}{23}.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

Egin ken \frac{36}{23} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{123}{23}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$