Resolver {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$6x-7y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-14y=-1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x-7y=4$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=7y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-14y=-1).

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Egin 2 bider \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Gehitu \frac{7y}{3} eta -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{35}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Egin \frac{7}{6} bider \frac{1}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{7}{30} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$6x-7y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-14y=-1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 7y bi aldeetatik.

$$6x-7y=4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 1 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$2x-14y=-1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

6x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Egin 12x-84y=-6 ken 12x-14y=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y+84y=8+6$$

Gehitu -14y eta 84y.

$$70y=8+6$$

Gehitu 8 eta 6.

$$70y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 70 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}$$

Ordeztu \frac{1}{5} y balioarekin 2x-14y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Egin -14 bider \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Gehitu \frac{14}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{9}{10}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$