Resolver {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$5y+4x=-13$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5y+4x=-13$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$5y=-4x-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Ordeztu \frac{-4x-13}{5} balioa y balioarekin beste ekuazioan (6y+3x=13).

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Egin 6 bider \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Gehitu -\frac{24x}{5} eta 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Gehitu \frac{78}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{9}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Ordeztu -\frac{143}{9} x balioarekin y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Egin -\frac{4}{5} bider -\frac{143}{9}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Gehitu -\frac{13}{5} eta \frac{572}{45} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{91}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$5y+4x=-13$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 4x bi aldeetan.

$$5y+4x=-13$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y eta 6y berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Sinplifikatu.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Egin 30y+15x=65 ken 30y+24x=-78 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Gehitu 30y eta -30y. Sinplifikatu egiten dira 30y eta -30y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24x-15x=-78-65$$

Gehitu 24x eta -15x.

$$9x=-78-65$$

Gehitu -78 eta -65.

$$9x=-143$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Ordeztu -\frac{143}{9} x balioarekin 6y+3x=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Egin 3 bider -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Gehitu \frac{143}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=\frac{91}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$