Resolver {l}{5x-5y=-5}{-5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = - 5 } \\ { - 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-5$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-5y=-5$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=5y-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y-5\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -5+5y.

$$x=y-1$$

Ordeztu y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-5x+6y=1).

$$-5\left(y-1\right)+6y=1$$

Egin -5 bider y-1.

$$-5y+5+6y=1$$

Gehitu -5y eta 6y.

$$y+5=1$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4-1$$

Gehitu -1 eta -4.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\left(-5\right)+1\\-5+1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-5,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

5x eta -5x berdintzeko, biderkatu -5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5\times 5x-5\left(-5\right)y=-5\left(-5\right),5\left(-5\right)x+5\times 6y=5$$

Sinplifikatu.

$$-25x+25y=25,-25x+30y=5$$

Egin -25x+30y=5 ken -25x+25y=25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-25x+25x+25y-30y=25-5$$

Gehitu -25x eta 25x. Sinplifikatu egiten dira -25x eta 25x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y-30y=25-5$$

Gehitu 25y eta -30y.

$$-5y=25-5$$

Gehitu 25 eta -5.

$$-5y=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -5x+6y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-5x+6\left(-4\right)=1$$

Egin 6 bider -4.

$$-5x-24=1$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5x=25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=-5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-5,y=-4$$