Resolver {l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{-y+7}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-3x+7y=11).

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

Egin -3 bider \frac{-y+7}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

Gehitu \frac{3y}{5} eta 7y.

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

Gehitu \frac{21}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{38}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

Egin -\frac{1}{5} bider 2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Gehitu \frac{7}{5} eta -\frac{2}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

5x eta -3x berdintzeko, biderkatu -3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

Sinplifikatu.

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

Egin -15x+35y=55 ken -15x-3y=-21 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

Gehitu -15x eta 15x. Sinplifikatu egiten dira -15x eta 15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-3y-35y=-21-55$$

Gehitu -3y eta -35y.

$$-38y=-21-55$$

Gehitu -21 eta -55.

$$-38y=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -38 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin -3x+7y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3x+7\times 2=11$$

Egin 7 bider 2.

$$-3x+14=11$$

Egin ken 14 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3x=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$