Resolver {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x+3y=450$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-3y+450$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Ordeztu -\frac{3y}{5}+90 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=413).

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Egin 3 bider -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Gehitu -\frac{9y}{5} eta 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Egin ken 270 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=65$$

Ordeztu 65 y balioarekin x=-\frac{3}{5}y+90 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Egin -\frac{3}{5} bider 65.

$$x=-39+90$$

Gehitu 90 eta -39.

$$x=51$$

Ebatzi da sistema.

$$x=51,y=65$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=51,y=65$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

5x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Sinplifikatu.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Egin 15x+20y=2065 ken 15x+9y=1350 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9y-20y=1350-2065$$

Gehitu 9y eta -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Gehitu 1350 eta -2065.

$$-11y=-715$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -11 balioarekin.

$$y=65$$

Ordeztu 65 y balioarekin 3x+4y=413 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\times 65=413$$

Egin 4 bider 65.

$$3x+260=413$$

Egin ken 260 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=153$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=51$$

Ebatzi da sistema.

$$x=51,y=65$$