Resolver {l}{4y+3x=8}{3x-9y=-77}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 3 x = 8 } \\ { 3 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{236}{39} = -6\frac{2}{39} \approx -6.051282051$$

$$y = \frac{85}{13} = 6\frac{7}{13} \approx 6.538461538$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4y+3x=8$$

Egin ken 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=-3x+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{1}{4}\left(-3x+8\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3x+8.

$$y=-\frac{3}{4}x+2$$

Ordeztu -\frac{3x}{4}+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (-9y+3x=-77).

$$-9\left(-\frac{3}{4}x+2\right)+3x=-77$$

Egin -9 bider -\frac{3x}{4}+2.

$$\frac{27}{4}x-18+3x=-77$$

Gehitu \frac{27x}{4} eta 3x.

$$\frac{39}{4}x-18=-77$$

Gehitu 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{39}{4}x=-59$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{39}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{236}{39}$$

Ordeztu -\frac{236}{39} x balioarekin y=-\frac{3}{4}x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{236}{39}\right)+2$$

Egin -\frac{3}{4} bider -\frac{236}{39}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=\frac{59}{13}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{59}{13}.

$$y=\frac{85}{13}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\times 3-3\left(-9\right)}&\frac{4}{4\times 3-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-77\right)\\\frac{3}{13}\times 8+\frac{4}{39}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{13}\\-\frac{236}{39}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

Egin -9y+3x=-77 ken 4y+3x=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4y+9y+3x-3x=8+77$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4y+9y=8+77$$

Gehitu 4y eta 9y.

$$13y=8+77$$

Gehitu 8 eta 77.

$$13y=85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=\frac{85}{13}$$

Ordeztu \frac{85}{13} y balioarekin -9y+3x=-77 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9\times \frac{85}{13}+3x=-77$$

Egin -9 bider \frac{85}{13}.

$$-\frac{765}{13}+3x=-77$$

Gehitu \frac{765}{13} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{236}{13}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{236}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$