Resolver {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$4x+3y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$5y+5x=12$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=9$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Ordeztu \frac{-3y+9}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+5y=12).

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Egin 5 bider \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Gehitu -\frac{15y}{4} eta 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Egin ken \frac{45}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{3}{5} y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Egin -\frac{3}{4} bider \frac{3}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Gehitu \frac{9}{4} eta -\frac{9}{20} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$4x+3y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$5y+5x=12$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 3y bi aldeetan.

$$4x+3y=9$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 5x bi aldeetan.

$$5y+5x=12$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Sinplifikatu.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Egin 20x+20y=48 ken 20x+15y=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y-20y=45-48$$

Gehitu 15y eta -20y.

$$-5y=45-48$$

Gehitu 45 eta -48.

$$-5y=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{3}{5} y balioarekin 5x+5y=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Egin 5 bider \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Egin ken 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$