Resolver {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+y=-7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-y-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Ordeztu \frac{-y-7}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+6y=-11).

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

Egin 2 bider \frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Gehitu \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{11}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Ordeztu -\frac{15}{11} y balioarekin x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Egin -\frac{1}{4} bider -\frac{15}{11}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Gehitu -\frac{7}{4} eta \frac{15}{44} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Egin 8x+24y=-44 ken 8x+2y=-14 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

Gehitu 8x eta -8x. Sinplifikatu egiten dira 8x eta -8x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y-24y=-14+44$$

Gehitu 2y eta -24y.

$$-22y=-14+44$$

Gehitu -14 eta 44.

$$-22y=30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -22 balioarekin.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Ordeztu -\frac{15}{11} y balioarekin 2x+6y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

Egin 6 bider -\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Gehitu \frac{90}{11} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$