Resolver {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=9$$

$$y=-10$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+5y=-14$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-5y-14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -5y-14.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Ordeztu -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-9x-9y=9).

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

Egin -9 bider -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

Gehitu \frac{45y}{4} eta -9y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

Egin ken \frac{63}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-10$$

Ordeztu -10 y balioarekin x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{5}{4} bider -10.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

Gehitu -\frac{7}{2} eta \frac{25}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-10$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=9,y=-10$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

4x eta -9x berdintzeko, biderkatu -9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

Sinplifikatu.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

Egin -36x-36y=36 ken -36x-45y=126 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

Gehitu -36x eta 36x. Sinplifikatu egiten dira -36x eta 36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-45y+36y=126-36$$

Gehitu -45y eta 36y.

$$-9y=126-36$$

Gehitu 126 eta -36.

$$-9y=90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=-10$$

Ordeztu -10 y balioarekin -9x-9y=9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

Egin -9 bider -10.

$$-9x+90=9$$

Egin ken 90 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9x=-81$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$x=9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=9,y=-10$$