Resolver {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 7y bi aldeetan.

$$5x-17+7y=0$$

Gehitu 17 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x+7y=17$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+5y=-12$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-5y-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Ordeztu -\frac{5y}{4}-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+7y=17).

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Egin 5 bider -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Gehitu -\frac{25y}{4} eta 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Gehitu 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{3}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{128}{3}$$

Ordeztu \frac{128}{3} y balioarekin x=-\frac{5}{4}y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Egin -\frac{5}{4} bider \frac{128}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Gehitu -3 eta -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 7y bi aldeetan.

$$5x-17+7y=0$$

Gehitu 17 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x+7y=17$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 7y bi aldeetan.

$$5x-17+7y=0$$

Gehitu 17 bi aldeetan. Edozein zenbaki gehi zero zenbaki hori bera da.

$$5x+7y=17$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

4x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Sinplifikatu.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Egin 20x+28y=68 ken 20x+25y=-60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Gehitu 20x eta -20x. Sinplifikatu egiten dira 20x eta -20x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25y-28y=-60-68$$

Gehitu 25y eta -28y.

$$-3y=-60-68$$

Gehitu -60 eta -68.

$$-3y=-128$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{128}{3}$$

Ordeztu \frac{128}{3} y balioarekin 5x+7y=17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Egin 7 bider \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Egin ken \frac{896}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$