Resolver {l}{4x+3y=4}{4x+6y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+3y=4$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-3y+4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+4\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -3y+4.

$$x=-\frac{3}{4}y+1$$

Ordeztu -\frac{3y}{4}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+6y=16).

$$4\left(-\frac{3}{4}y+1\right)+6y=16$$

Egin 4 bider -\frac{3y}{4}+1.

$$-3y+4+6y=16$$

Gehitu -3y eta 6y.

$$3y+4=16$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{3}{4}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+1$$

Egin -\frac{3}{4} bider 4.

$$x=-3+1$$

Gehitu 1 eta -3.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 6-3\times 4}&\frac{4}{4\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

Egin 4x+6y=16 ken 4x+3y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$4x-4x+3y-6y=4-16$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3y-6y=4-16$$

Gehitu 3y eta -6y.

$$-3y=4-16$$

Gehitu 4 eta -16.

$$-3y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 4x+6y=16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+6\times 4=16$$

Egin 6 bider 4.

$$4x+24=16$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=4$$