Resolver {l}{3x-7y=-19}{2x-9y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = - 19 } \\ { 2 x - 9 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-7y=-19$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=7y-19$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y-19\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 7y-19.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}$$

Ordeztu \frac{7y-19}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-9y=-17).

$$2\left(\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}\right)-9y=-17$$

Egin 2 bider \frac{7y-19}{3}.

$$\frac{14}{3}y-\frac{38}{3}-9y=-17$$

Gehitu \frac{14y}{3} eta -9y.

$$-\frac{13}{3}y-\frac{38}{3}=-17$$

Gehitu \frac{38}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=\frac{7}{3}y-\frac{19}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{7-19}{3}$$

Gehitu -\frac{19}{3} eta \frac{7}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-9\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}&-\frac{7}{13}\\\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\-17\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\left(-19\right)-\frac{7}{13}\left(-17\right)\\\frac{2}{13}\left(-19\right)-\frac{3}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-4,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-7y=-19,2x-9y=-17$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\left(-19\right),3\times 2x+3\left(-9\right)y=3\left(-17\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x-14y=-38,6x-27y=-51$$

Egin 6x-27y=-51 ken 6x-14y=-38 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x-14y+27y=-38+51$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y+27y=-38+51$$

Gehitu -14y eta 27y.

$$13y=-38+51$$

Gehitu -38 eta 51.

$$13y=13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 13 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x-9y=-17 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-9=-17$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-4,y=1$$