Resolver {l}{3x-2y=2}{5x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 2 } \\ { 5 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-2y=2$$

Gehitu 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=2y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 2+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2+2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-5y=10).

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)-5y=10$$

Egin 5 bider \frac{2+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}-5y=10$$

Gehitu \frac{10y}{3} eta -5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=10$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider -4.

$$x=\frac{-8+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta -\frac{8}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-\frac{2}{5}\times 10\\2-\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=2,5x-5y=10$$

3x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-5\right)y=3\times 10$$

Sinplifikatu.

$$15x-10y=10,15x-15y=30$$

Egin 15x-15y=30 ken 15x-10y=10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15x-15x-10y+15y=10-30$$

Gehitu 15x eta -15x. Sinplifikatu egiten dira 15x eta -15x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-10y+15y=10-30$$

Gehitu -10y eta 15y.

$$5y=10-30$$

Gehitu 10 eta -30.

$$5y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin 5x-5y=10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-5\left(-4\right)=10$$

Egin -5 bider -4.

$$5x+20=10$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=-4$$