Resolver {l}{3x+6y=210}{x/4+y/5=sqrt{210}}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 210 } \\ { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 5 } = \sqrt { 210 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{20 \sqrt{210} - 140}{3} \approx 49.942511641$$

$$y = \frac{175 - 10 \sqrt{210}}{3} \approx 10.028744179$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+6y=210,\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+6y=210$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-6y+210$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+210\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -6y+210.

$$x=-2y+70$$

Ordeztu -2y+70 balioa x balioarekin beste ekuazioan (\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}).

$$\frac{1}{4}\left(-2y+70\right)+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

Egin \frac{1}{4} bider -2y+70.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{35}{2}+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

Gehitu -\frac{y}{2} eta \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{35}{2}=\sqrt{210}$$

Egin ken \frac{35}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{3}{10}y=\sqrt{210}-\frac{35}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{3}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

Ordeztu \frac{-10\sqrt{210}+175}{3} y balioarekin x=-2y+70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{175-10\sqrt{210}}{3}+70$$

Egin -2 bider \frac{-10\sqrt{210}+175}{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-350}{3}+70$$

Gehitu 70 eta \frac{20\sqrt{210}-350}{3}.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3},y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+6y=210,\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210}$$

3x eta \frac{x}{4} berdintzeko, biderkatu \frac{1}{4} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$\frac{1}{4}\times 3x+\frac{1}{4}\times 6y=\frac{1}{4}\times 210,3\times \frac{1}{4}x+3\times \frac{1}{5}y=3\sqrt{210}$$

Sinplifikatu.

$$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y=\frac{105}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}y=3\sqrt{210}$$

Egin \frac{3}{4}x+\frac{3}{5}y=3\sqrt{210} ken \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y=\frac{105}{2} berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}y-\frac{3}{5}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

Gehitu \frac{3x}{4} eta -\frac{3x}{4}. Sinplifikatu egiten dira \frac{3x}{4} eta -\frac{3x}{4}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{3}{2}y-\frac{3}{5}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

Gehitu \frac{3y}{2} eta -\frac{3y}{5}.

$$\frac{9}{10}y=\frac{105}{2}-3\sqrt{210}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{10} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$

Ordeztu \frac{175-10\sqrt{210}}{3} y balioarekin \frac{1}{4}x+\frac{1}{5}y=\sqrt{210} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{5}\times \frac{175-10\sqrt{210}}{3}=\sqrt{210}$$

Egin \frac{1}{5} bider \frac{175-10\sqrt{210}}{3}.

$$\frac{1}{4}x+\frac{35-2\sqrt{210}}{3}=\sqrt{210}$$

Egin ken \frac{-2\sqrt{210}+35}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{4}x=\frac{5\sqrt{210}-35}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{20\sqrt{210}-140}{3},y=\frac{175-10\sqrt{210}}{3}$$