Resolver {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x+5y=6.5$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-5y+6.5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5y+6.5.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

Ordeztu -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-2y=-9).

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

Egin 2 bider -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

Gehitu -\frac{10y}{3} eta -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

Egin ken \frac{13}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{16}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

Egin -\frac{5}{3} bider \frac{5}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

Gehitu \frac{13}{6} eta -\frac{25}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

3x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

Egin 6x-6y=-27 ken 6x+10y=13 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y+6y=13+27$$

Gehitu 10y eta 6y.

$$16y=13+27$$

Gehitu 13 eta 27.

$$16y=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin 2x-2y=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

Egin -2 bider \frac{5}{2}.

$$2x-5=-9$$

Gehitu 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$