Resolver {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi c. Horretarako, isolatu c berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3c+5z=-15$$

Egin ken 5z ekuazioaren bi aldeetan.

$$3c=-5z-15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

Ordeztu -\frac{5z}{3}-5 balioa c balioarekin beste ekuazioan (5c+3z=-9).

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

Egin 5 bider -\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

Gehitu -\frac{25z}{3} eta 3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{16}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$z=-3$$

Ordeztu -3 z balioarekin c=-\frac{5}{3}z-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

Egin -\frac{5}{3} bider -3.

$$c=5-5$$

Gehitu -5 eta 5.

$$c=0$$

Ebatzi da sistema.

$$c=0,z=-3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Atera c eta z matrize-elementuak.

$$c=0,z=-3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c eta 5c berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

Sinplifikatu.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

Egin 15c+9z=-27 ken 15c+25z=-75 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

Gehitu 15c eta -15c. Sinplifikatu egiten dira 15c eta -15c. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$25z-9z=-75+27$$

Gehitu 25z eta -9z.

$$16z=-75+27$$

Gehitu -75 eta 27.

$$16z=-48$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 16 balioarekin.

$$z=-3$$

Ordeztu -3 z balioarekin 5c+3z=-9 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, c ebatz dezakezu zuzenean.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

Egin 3 bider -3.

$$5c-9=-9$$

Gehitu 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5c=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$c=0$$

Ebatzi da sistema.

$$c=0,z=-3$$