Resolver {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, c

$$a=3$$

$$c=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3a+c=5$$

Egin ken c ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-c+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider -c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

Ordeztu \frac{-c+5}{3} balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-c=7).

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

Gehitu -\frac{c}{3} eta -c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

Egin ken \frac{5}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{4}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$c=-4$$

Ordeztu -4 c balioarekin a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider -4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

Gehitu \frac{5}{3} eta \frac{4}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,c=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera a eta c matrize-elementuak.

$$a=3,c=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3a+c=5,a-c=7$$

3a eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

Sinplifikatu.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

Egin 3a-3c=21 ken 3a+c=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

Gehitu 3a eta -3a. Sinplifikatu egiten dira 3a eta -3a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$c+3c=5-21$$

Gehitu c eta 3c.

$$4c=5-21$$

Gehitu 5 eta -21.

$$4c=-16$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$c=-4$$

Ordeztu -4 c balioarekin a-c=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-\left(-4\right)=7$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,c=-4$$