Resolver {l}{217x+13ny=913}{131x+217y=827}

$$\left. \begin{array} { l } { 217 x + 13 n y = 913 } \\ { 131 x + 217 y = 827 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{198121-10751n}{1703n-47089}$$

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

$$n\neq \frac{47089}{1703}$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$217x+13ny=913$$

Egin ken 13ny ekuazioaren bi aldeetan.

$$217x=\left(-13n\right)y+913$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 217 balioarekin.

$$x=\frac{1}{217}\left(\left(-13n\right)y+913\right)$$

Egin \frac{1}{217} bider -13ny+913.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}$$

Ordeztu \frac{-13ny+913}{217} balioa x balioarekin beste ekuazioan (131x+217y=827).

$$131\left(\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217}\right)+217y=827$$

Egin 131 bider \frac{-13ny+913}{217}.

$$\left(-\frac{1703n}{217}\right)y+\frac{119603}{217}+217y=827$$

Gehitu -\frac{1703ny}{217} eta 217y.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y+\frac{119603}{217}=827$$

Egin ken \frac{119603}{217} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{1703n}{217}+217\right)y=\frac{59856}{217}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{1703n}{217}+217 balioarekin.

$$y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

Ordeztu \frac{59856}{47089-1703n} y balioarekin x=\left(-\frac{13n}{217}\right)y+\frac{913}{217} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{13n}{217}\right)\times \frac{59856}{47089-1703n}+\frac{913}{217}$$

Egin -\frac{13n}{217} bider \frac{59856}{47089-1703n}.

$$x=-\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)}+\frac{913}{217}$$

Gehitu \frac{913}{217} eta -\frac{778128n}{217\left(47089-1703n\right)}.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{198121-10751n}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}217&13n\\131&217\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}&-\frac{13n}{217\times 217-13n\times 131}\\-\frac{131}{217\times 217-13n\times 131}&\frac{217}{217\times 217-13n\times 131}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}&-\frac{13n}{47089-1703n}\\-\frac{131}{47089-1703n}&\frac{217}{47089-1703n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}913\\827\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{217}{47089-1703n}\times 913+\left(-\frac{13n}{47089-1703n}\right)\times 827\\\left(-\frac{131}{47089-1703n}\right)\times 913+\frac{217}{47089-1703n}\times 827\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10751n-198121}{47089-1703n}\\\frac{59856}{47089-1703n}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{10751n-198121}{47089-1703n},y=\frac{59856}{47089-1703n}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$217x+13ny=913,131x+217y=827$$

217x eta 131x berdintzeko, biderkatu 131 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 217 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$131\times 217x+131\times 13ny=131\times 913,217\times 131x+217\times 217y=217\times 827$$

Sinplifikatu.

$$28427x+1703ny=119603,28427x+47089y=179459$$

Egin 28427x+47089y=179459 ken 28427x+1703ny=119603 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28427x-28427x+1703ny-47089y=119603-179459$$

Gehitu 28427x eta -28427x. Sinplifikatu egiten dira 28427x eta -28427x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$1703ny-47089y=119603-179459$$

Gehitu 1703ny eta -47089y.

$$\left(1703n-47089\right)y=119603-179459$$

Gehitu 119603 eta -179459.

$$\left(1703n-47089\right)y=-59856$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1703n-47089 balioarekin.

$$y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$

Ordeztu -\frac{59856}{1703n-47089} y balioarekin 131x+217y=827 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$131x+217\left(-\frac{59856}{1703n-47089}\right)=827$$

Egin 217 bider -\frac{59856}{1703n-47089}.

$$131x-\frac{12988752}{1703n-47089}=827$$

Gehitu \frac{12988752}{1703n-47089} ekuazioaren bi aldeetan.

$$131x=\frac{131\left(10751n-198121\right)}{1703n-47089}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 131 balioarekin.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{10751n-198121}{1703n-47089},y=-\frac{59856}{1703n-47089}$$