Resolver {l}{20a+3b=41}{15a+7b=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$20a+3b=41$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$20a=-3b+41$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 20 balioarekin.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

Egin \frac{1}{20} bider -3b+41.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

Ordeztu \frac{-3b+41}{20} balioa a balioarekin beste ekuazioan (15a+7b=45).

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

Egin 15 bider \frac{-3b+41}{20}.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

Gehitu -\frac{9b}{4} eta 7b.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

Egin ken \frac{123}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=3$$

Ordeztu 3 b balioarekin a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

Egin -\frac{3}{20} bider 3.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

Gehitu \frac{41}{20} eta -\frac{9}{20} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

20a eta 15a berdintzeko, biderkatu 15 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 20 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

Sinplifikatu.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

Egin 300a+140b=900 ken 300a+45b=615 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

Gehitu 300a eta -300a. Sinplifikatu egiten dira 300a eta -300a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$45b-140b=615-900$$

Gehitu 45b eta -140b.

$$-95b=615-900$$

Gehitu 615 eta -900.

$$-95b=-285$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -95 balioarekin.

$$b=3$$

Ordeztu 3 b balioarekin 15a+7b=45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$15a+7\times 3=45$$

Egin 7 bider 3.

$$15a+21=45$$

Egin ken 21 ekuazioaren bi aldeetan.

$$15a=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$a=\frac{8}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$