Resolver {l}{2y=3x}{3x+6y=72}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x } \\ { 3 x + 6 y = 72 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=6$$

$$y=9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2y-3x=0$$

Gehitu 3x ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=3x$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{1}{2}\times 3x$$

Egin \frac{1}{2} bider 3x.

$$y=\frac{3}{2}x$$

Ordeztu \frac{3x}{2} balioa y balioarekin beste ekuazioan (6y+3x=72).

$$6\times \frac{3}{2}x+3x=72$$

Egin 6 bider \frac{3x}{2}.

$$9x+3x=72$$

Gehitu 9x eta 3x.

$$12x=72$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin y=\frac{3}{2}x ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{3}{2}\times 6$$

Egin \frac{3}{2} bider 6.

$$y=9$$

Ebatzi da sistema.

$$y=9,x=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\72\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 72\\\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=9,x=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2y-3x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2y-3x=0,6y+3x=72$$

2y eta 6y berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 2y+6\left(-3\right)x=0,2\times 6y+2\times 3x=2\times 72$$

Sinplifikatu.

$$12y-18x=0,12y+6x=144$$

Egin 12y+6x=144 ken 12y-18x=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12y-12y-18x-6x=-144$$

Gehitu 12y eta -12y. Sinplifikatu egiten dira 12y eta -12y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-18x-6x=-144$$

Gehitu -18x eta -6x.

$$-24x=-144$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin 6y+3x=72 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$6y+3\times 6=72$$

Egin 3 bider 6.

$$6y+18=72$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=54$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=9$$

Ebatzi da sistema.

$$y=9,x=6$$