Resolver {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2x+y-7=0$$

Gehitu 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x+y=7$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-y+7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{-y+7}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (17x-11y-8=0).

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

Egin 17 bider \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

Gehitu -\frac{17y}{2} eta -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

Gehitu \frac{119}{2} eta -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

Egin ken \frac{103}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{39}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{103}{39}$$

Ordeztu \frac{103}{39} y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

Egin -\frac{1}{2} bider \frac{103}{39}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

Gehitu \frac{7}{2} eta -\frac{103}{78} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{85}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x eta 17x berdintzeko, biderkatu 17 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

Sinplifikatu.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

Egin 34x-22y-16=0 ken 34x+17y-119=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

Gehitu 34x eta -34x. Sinplifikatu egiten dira 34x eta -34x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$17y+22y-119+16=0$$

Gehitu 17y eta 22y.

$$39y-119+16=0$$

Gehitu -119 eta 16.

$$39y-103=0$$

Gehitu 103 ekuazioaren bi aldeetan.

$$39y=103$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 39 balioarekin.

$$y=\frac{103}{39}$$

Ordeztu \frac{103}{39} y balioarekin 17x-11y-8=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

Egin -11 bider \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

Gehitu -\frac{1133}{39} eta -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

Gehitu \frac{1445}{39} ekuazioaren bi aldeetan.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$x=\frac{85}{39}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$